สมการตัวแปรเดียว

สมการ

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

                    นิยาม   สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว  คือ  สมการที่มีตัวแปรหรือตัวไม่ทราบค่า  (unknow)  และเลขชี้กำลังของตัวแปรเป็น  1  ตัวแปรอาจปรากฎเพียงข้างใดข้างหนึ่งของเครื่องหมาย  “ = ”  หรือ  ปรากฏทั้งสองข้างแต่ เมื่อจัดรูปให้อยู่ในรูปผลสำเร็จโดยมี  x  เป็นตัวแปร    a , b  เป็นค่าคงตัว  และ a ไม่เท่ากับ  0  จะอยู่ในรูปแบบ

               สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว  จะมีค่าคำตอบเพียงค่าเดียวเท่านั้น  คือ  จำนวนที่เมื่อนำไปแทนค่าตัว แปรในสมการแล้วทำให้สมการนั้นเป็นจริง   บางครั้งจะเรียกคำตอบของสมการว่า  รากของสมการ
                คำสั่งของโจทย์ประเภทนี้มักใช้คำว่า  จงแก้สมการ  จงหาค่า  x  (ตัวแปรในสมการ)  จงหารากของ สมการหรือจงหารคำตอบของสมการ
                สมการ  2  สมการจะสมมูลกันก็ต่อเมื่อคำตอบของสมการ  ทั้งสองต้องเท่ากัน

การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
            การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว  ต้องอาศัยสมบัติการเท่ากันของจำนวนที่มา    จำนวน   2    จำนวน  ที่เท่ากันเมื่อเพิ่มหรือตัดออกเท่ากันย่อมเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 1          จงหาคำตอบของสมการ    2x  –  5   =   8    

วิธีทำ                     จากสมการ            2x  –  5         =   8   
                        จะได้                     2x  –  5  +  5   =   8 + 5            (นำ  5  ไปบวกทั้งสองข้าง)
                                                            x  +  7                   =   9
                              จะได้                     x  +  7  –  7     =   9  – 7            (นำ  -7  ไปบวกทั้งสองข้าง)
                                                              3x     =   15
                                               1/3  .  3x          =   15 . 1/3          (นำ 1/3 ไปคูณทั้งสองข้าง)
                                                                        (1)x    =   5

                                                                             x    =    5          
นั่นคือ      x    =    5

ข้อแนะนำในการแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวมีดังนี้

1.   ทำให้เป็นผลสำเร็จโดยการจัดให้ตัวแปรและค่าคงตัวอยู่คนละข้างของเครื่องหมาย “ = ”

                 ตัวอย่างเช่น            3x  +  4   =   10
                                           3x  +  4  –  4  =   10  –  4                (นำ  4  ลบออกทั้งสองข้าง)
                                                           3x   =   6
                                                 1/3 .  3x   =   1/3 . 6                  (นำ 1/3   ลบออกทั้งสองข้าง)

                       ดังนั้น                       x   =   2

2.   ถ้าพบวงเล็บในสมการ เช่น (  ) . [  ]  หรือ  {  }  ต้องถอดวงเล็บทิ้งไป  โดยถอดที่ละวงเล็บ และต้องระมัดระวังอย่างยิ่ง  หน้าวงเล็บใดมีเครื่องหมาย .”-“  เมื่อถอดวงเล็บออกแล้วต้องเปลี่ยนเครื่องหมายทุก จำนวนภายในวงเล็บนั้นเป็นจำนวนตรงข้าม

 ตัวอย่างเช่น            1 + 2 { 5  –  ( 3x – 2 ) }   =   3
                        จะได้              1 +  2 { 5 - ( 3x - 2 ) } - 1   =  3 -  1       (นำ 1 ลบออกทั้งสองข้าง)
                                                                 2 { 5 - 3x  + 2 }   =    2           อย่าลืม!  เปลี่ยนเครื่องหมาย
                                                                1/2 . 2 { 7 - 3x }   =  2 . 1/2      (นำ  1/2    คูณทั้งสองข้าง)
                                                                                  7 - 3x    =   1
                                                                      7  –  3x  –  7    =   1  –  7     (นำ 7 ลบออกทั้งสองข้าง)
                                                                    -(  1/3 ) . - 3x   =   -6 ( -1/3 )    (นำ -1/3   คูณทั้งสองข้าง)

                       ดังนั้น  x   =    2 

การแก้สมการเมื่อจำนวนในสมการส่วนมากอยู่ในรูปเศษส่วน 

                      จะไม่สะดวกในการทำให้เป็นผลสำเร็จ  อาจทำให้  “ส่วน”  หมดไปโดยการนำ  ค.ร.น.  ของส่วนทั้งหมดคูณตลอดสมการนั้น

โจทย์สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

              โจทย์ประเภทนี้จะมีข้อความที่ไม่ทราบค่าปรากฏอยู่  และข้อความที่เกี่ยวข้องกับข้อความอื่น  ๆ  อีก  หลายข้อความในโจทย์นั้น  ซึ่งอาจมีความสัมพันธ์กับข้อความนั้น  ๆ  โดยตรงหรือโดยอ้อม  การแก้ปัญหา  เกี่ยวกับโจทย์สมการก็คือการหาคำตอบของโจทย์นั่นเอง   

            โดยวิธีการกำหนดตัวแปรแทนข้อความที่ไม่ทราบค่านั้น  (นิยมใช้  x  เป็นตัวแปร)  แล้วเขียน  ข้อความอื่น  ๆในรูปของ  x  นี้  สร้างสมการขึ้นมา

 ตัวอย่างเช่น       ก   มีเงินมากกว่า   ข   อยู่   12   บาท    ก   กับ  ข    มีเงินรวมกัน   88    บาท  ก    มีเงิน เท่าไหร่
                วิธีทำ      ให้   ก    มีเงิน    x   บาท  จะได้   ข   มีเงิน  x  –  12    บาท
                                    ก   และ   ข   มีเงินรวมกัน  88  บาท

          สมการคือ                                x +  ( x - 12 )   =    88      
                                                                                2x  =    88 + 12
                                                                                x    =    50

           นั่นคือ  ก  มีเงิน  50  บาท

ข้อแนะนำในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับโจทย์ปัญหาสมการทั่วๆ ไป     มีดังนี้

                1)     เมื่ออ่านปัญหาโจทย์แล้วจะต้องกำหนดตัวแปรแทนข้อความที่ยังไม่ทราบค่าในโจทย์ซึ่งอาจมี หลาย ข้อความโดยทั่วไป  มักจะกำหนดตัวแปรแทนข้อความที่โจทย์ถาม  แต่ไม่จำเป็นต้องทำเช่นนี้ทุก ครั้ง  ทั้งนี้เนื่องจากบางครั้งการทำเช่นนี้จะทำให้เข้าสมการ   (เขียนความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรกับข้อความอื่นๆ  ที่ปรากฎในโจทย์)      ไม่สะดวกหรืออาจทำได้ยากกว่าการกำหนดตัวแปรแทน ข้อความอื่น  (ที่โจทย์มิได้ถาม)  ซึ่งมีความคล่องในการเขียนสมการสมพันธ์กับข้อความต่าง ๆ  ที่ปรากฏในโจทย์  แต่ต้องระวังเวลา ตอบต้องไม่ตอบค่าของตัวแปรนั้น  จะต้องนำค่าตัวแปรไปแทนข้อความที่โจทย์ถาม

 ตัวอย่างเช่น     สี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปหนึ่งมีเส้นรอบรูปยาว  14  นิ้ว  มีด้านยาวยาวกว่าสองเท่าของด้านกว้าง อยู่   1  นิ้ว  สี่เหลี่ยมนี้มีพื้นที่เท่าใด

วิธีทำ      กำหนดตัวแปร  (x)   แทนข้อความที่โจทย์ถามจะไม่สะดวก  จึงควรกำหนดให้สี่เหลี่ยมมี             ด้านกว้าง  x  นิ้ว  ด้านยาวจะยาว  2x  +  1    นิ้ว  เส้นรอบรูปยาว     14    นิ้ว  

                           เข้าสมการได้                                       2 [ x + ( 2x + 1 )]    =   14  

                                                                                                            3x  +  1   =   7  

                                                                                                                      x     =     2  

  ดังนั้น      ด้านกว้างยาว  เท่ากับ    2  นิ้ว  
                  ด้านยาวยาว    เท่ากับ    2( 2 )  +  1   =   5    นิ้ว

  นั้นคือ  สี่เหลี่ยมผืนผ้ามีพื้นที่เท่ากับ     2 ( 5 )     =    10    ตารางนิ้ว  

ข้อสังเกต  ยังนิยมใช้  x  เป็นตัวแปรแทนข้อความที่ไม่ทราบค่าหลังคำว่า  “ของ” เช่น  ในข้อแนะนำ                ข้อที่  1  มีข้อความว่า  

                     ด้านยาวยาวกว่าสองเท่าของด้านกว้างอยู่          1         นิ้ว   
                     ให้  ด้านกว้างยาว                                                   x        นิ้ว   
                     ดังนั้น  ด้านยาวจะยาว                                     2x + 1    นิ้ว

               การแก้สมการ คือ การหาค่าของตัวแปรในสมการที่ทำให้สมการเป็นจริงโดยอาศัยสมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง ดังนี้

               

 สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

      สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว คือ สมการที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว และเลขขี้กำลังของตัวแปรเป็น 1 สมการ  เชิงเส้นตัวแปรเดียวจะสามารถเขียนให้อยู่ในรูปอย่างง่าย ดังนี้ ax + b = 0 เมื่อ a, b เป็นค่าคงตัว และ a ไม่ เท่ากับ 0  เช่น
                              2x + 3  =  0        
                             2a + 1  =  0       

สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง
                เมื่อ a, b และ c เป็นจำนวนจริง

1)  สมบัติสมมาตร (symmetric property)
            ถ้า a = b แล้ว b = a

2) สมบัติการถ่ายทอด (transitive property)

                ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c 

3) สมบัติการแจกแจงหรือการกระจาย (distributiveproperty)

               a (b+c) = ab + ac

4) สมบัติการบวก (additiveproperty)

               ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c  

หรือ a - c = b - c    

5) สมบัติการคูณ (multiplicative property)

              ถ้า a = b แล้ว a x c = b x c

           หรือ a / c = b / c เมื่อ c ไม่เท่ากับ 0

                                     การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

ที่มา https://sites.google.com/site/sayrungphinyasri/smkar-cheing-sen-tawpaer-deiyw 12/09/2556
      http://www.youtube.com/watch?v=kDd89MWL9xU