การเปรียบเทียบจำนวนเต็ม

                  จำนวนเต็ม 2 จำนวน เมื่อนำมาเปรียบเทียบกันจะได้ว่า จำนวนหนึ่งที่มากกว่าจำนวนหนึ่ง หรือจำนวนหนึ่งที่น้อยกว่าอีกจำนวนหนึ่ง หรือจำนวนทั้ง 2 จำนวนเท่ากัน เพียงอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น

ถ้า a, b, c เป็น จำนวนธรรมชาติใดๆ แล้ว

                                    

                                    a –b = c แล้ว a มากกว่า b
                                    a –b = -c แล้ว b มากกว่า a
                                   หรือ a น้อยกว่า b
                                   a –b = 0 แล้ว a เท่ากับ b

เครื่องหมายที่ใช้          >   แทนมากกว่า

<   แทนน้อยกว่า

=   แทนเท่ากับ หรือเท่ากัน

การเปรียบเทียบจำนวนเต็มสามารถเปรียบเทียบจากเส้นจำนวนได้ดังนี้

                     จากเส้นจำนวนจะเห็นว่า  4 >3 >2 >1 >0 >-1 >-2 >-3 ซึ่งจะเห็นได้ว่า จำนวนที่อยู่บนเส้นจำนวนด้านขวามีค่ามากกว่าจำนวนที่อยู่ด้านซ้ายเสมอ

ตัวอย่างที่ 1  เรียงลำดับจำนวนเต็มจากน้อยไปหามาก   4, -8, 0, -2, 16, -17
                        -17 , -8 , -2 , 0 , 4 , 16

ตัวอย่างที่ 2 เติมเครื่องหมาย < หรือ >เพื่อให้ประโยคต่อไปนี้เป็นจริง

                          1)     -4             <          3

                          2)    -4              <          -3

                          3)   -2               >          -5

                          4)   4               >          -2

1. จำนวนตรงข้ามของจำนวนเต็ม

                   ถ้า a เป็นจำนวนใดๆ จำนวนตรงข้ามของ a มีเพียงจำนวนเดียว เขียนแทนด้วย -a

พิจารณาจากเส้นจำนวน

                     จำนวนเต็มบวกและจำนวนเต็มลบจะอยู่คนละข้างของศูนย์ (0) และอยู่ห่างจาก 0 เป็น

ระยะเท่ากัน เช่น -3 กับ 3 เป็นจำนวนตรงข้ามกัน

2. ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็ม

พิจารณาจากเส้นจำนวนจะเห็นว่า

การเปรียบเทียบจำนวนเต็ม

ที่มา http://202.143.165.163/ma_m1/chap1/chap1_2.pdf  11/09/2556

       http://www.youtube.com/watch?v=goUKJp0ZYQc 11/09/2556

พื้นที่ผิวของปริซึมและทรงกระบอก

พื้นที่ผิวของปริซึม

จากปริซึมสี่เหลี่ยม

คลี่รูปปริซึมสี่เหลี่ยมจะได้   ดังรูป

ตัวอย่างที่ 1    

                    หาพื้นที่ผิวจากกล่องรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีฝาปิดดังรูป                                                 

                    กล่องรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า            กว้าง 3  เซนติเมตร

                                                                    ยาว   6  เซนติเมตร

                                                                    สูง    4  เซนติเมตร

ถ้าคลี่กล่องจะได้รูปดังนี้

ดังนั้น  พื้นที่ผิวของปริซึมสี่เหลี่ยม เท่ากับ 36 + 48 + 24 = 108  ตารางเซนติเมตร

หรือใช้สูตร                  พื้นที่ผิวข้าง     =  เส้นรอบรูปฐาน x ความสูง

                                                = ( 6 + 3 + 6 + 3) x 4

                                                =  18 x 4         =     72  ตารางเซนติเมตร

              

                                    พื้นที่ผิวของปริซึม    =   พื้นที่ด้านข้าง + (พื้นที่ฐานและด้านบน)

                                                =   72 + 2 (3 x 6 )

                                                =   72 + 36       =   108  ตารางเซนติเมตร

ตัวอย่างที่ 2    จงหาพื้นที่ผิวของรูปทรงต่อไปนี้

วิธีทำ               พื้นที่หน้าตัดสี่เหลี่ยมคางหมู 2 ด้าน    =   2 x [1/2 x (10 + 5) x12] 

                                                                                    =   180     ตารางหน่วย

                        พื้นที่ผิวข้าง         =   ความยาวเส้นรอบฐาน  x  สูง

        =   (10+12+5+13) x 20  = 800 ตารางหน่วย

      นั่นคือ  พื้นที่ผิวของปริซึม    =    180 + 800   =  980    ตารางหน่วย                      

            ตอบ   980 ตารางหน่วย

พื้นที่ผิวของทรงกระบอก

จากทรงกระบอก

ถ้าคลี่ทรงกระบอกจะได้รูปดังนี้

กำหนดให้                     h   แทนส่วนสูงของทรงกระบอก

                                      r    แทนรัศมีของฐาน

                                     พื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก             =     2prh

                                     พื้นที่ฐานทั้งสองของทรงกระบอก     =    2pr²

ตัวอย่างที่ 1 

 จงหาพื้นที่ผิวของทรงกระบอก สูง  5 เซนติเมตร  มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 14  เซนติเมตร ดังรูป

จาก  พื้นที่ผิวของทรงกระบอก     =    2prh +  2pr²

      จะได้  h =  5  เซนติเมตร

                r  =  7  เซนติเมตร      (เพราะรัศมียาวเป็นครึ่งหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลาง)

       แทนค่า พื้นที่ผิวของทรงกระบอก         =     (2 x 22/7 x 7 x 5) + (2 x 22/7 x 49)

                                                                     =      220 +  308

                                                                    =    528               ตารางเซนติเมตร  

           ตอบ  พื้นที่ผิวของทรงกระบอก คือ     528     ตารางเซนติเมตร

พื้นที่ผิวของปริซึมและทรงกระบอก

ที่มา       http://www.thaigoodview.com/files/u75581/surf_learn_07_02_

surface.png 12/09/2556

               http://www.goonone.com/index.php/2010-06-07-03-09-30/

393-2010-06-07-02-57-32 12/09/2556

              http://www.youtube.com/watch?v=8-20lgy8fU4 12/09/2556

สมการตัวแปรเดียว

สมการ

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

                    นิยาม   สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว  คือ  สมการที่มีตัวแปรหรือตัวไม่ทราบค่า  (unknow)  และเลขชี้กำลังของตัวแปรเป็น  1  ตัวแปรอาจปรากฎเพียงข้างใดข้างหนึ่งของเครื่องหมาย  “ = ”  หรือ  ปรากฏทั้งสองข้างแต่ เมื่อจัดรูปให้อยู่ในรูปผลสำเร็จโดยมี  x  เป็นตัวแปร    a , b  เป็นค่าคงตัว  และ a ไม่เท่ากับ  0  จะอยู่ในรูปแบบ

               สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว  จะมีค่าคำตอบเพียงค่าเดียวเท่านั้น  คือ  จำนวนที่เมื่อนำไปแทนค่าตัว แปรในสมการแล้วทำให้สมการนั้นเป็นจริง   บางครั้งจะเรียกคำตอบของสมการว่า  รากของสมการ
                คำสั่งของโจทย์ประเภทนี้มักใช้คำว่า  จงแก้สมการ  จงหาค่า  x  (ตัวแปรในสมการ)  จงหารากของ สมการหรือจงหารคำตอบของสมการ
                สมการ  2  สมการจะสมมูลกันก็ต่อเมื่อคำตอบของสมการ  ทั้งสองต้องเท่ากัน

การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
            การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว  ต้องอาศัยสมบัติการเท่ากันของจำนวนที่มา    จำนวน   2    จำนวน  ที่เท่ากันเมื่อเพิ่มหรือตัดออกเท่ากันย่อมเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 1          จงหาคำตอบของสมการ    2x  –  5   =   8    

วิธีทำ                     จากสมการ            2x  –  5         =   8   
                        จะได้                     2x  –  5  +  5   =   8 + 5            (นำ  5  ไปบวกทั้งสองข้าง)
                                                            x  +  7                   =   9
                              จะได้                     x  +  7  –  7     =   9  – 7            (นำ  -7  ไปบวกทั้งสองข้าง)
                                                              3x     =   15
                                               1/3  .  3x          =   15 . 1/3          (นำ 1/3 ไปคูณทั้งสองข้าง)
                                                                        (1)x    =   5

                                                                             x    =    5          
นั่นคือ      x    =    5

ข้อแนะนำในการแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวมีดังนี้

1.   ทำให้เป็นผลสำเร็จโดยการจัดให้ตัวแปรและค่าคงตัวอยู่คนละข้างของเครื่องหมาย “ = ”

                 ตัวอย่างเช่น            3x  +  4   =   10
                                           3x  +  4  –  4  =   10  –  4                (นำ  4  ลบออกทั้งสองข้าง)
                                                           3x   =   6
                                                 1/3 .  3x   =   1/3 . 6                  (นำ 1/3   ลบออกทั้งสองข้าง)

                       ดังนั้น                       x   =   2

2.   ถ้าพบวงเล็บในสมการ เช่น (  ) . [  ]  หรือ  {  }  ต้องถอดวงเล็บทิ้งไป  โดยถอดที่ละวงเล็บ และต้องระมัดระวังอย่างยิ่ง  หน้าวงเล็บใดมีเครื่องหมาย .”-“  เมื่อถอดวงเล็บออกแล้วต้องเปลี่ยนเครื่องหมายทุก จำนวนภายในวงเล็บนั้นเป็นจำนวนตรงข้าม

 ตัวอย่างเช่น            1 + 2 { 5  –  ( 3x – 2 ) }   =   3
                        จะได้              1 +  2 { 5 - ( 3x - 2 ) } - 1   =  3 -  1       (นำ 1 ลบออกทั้งสองข้าง)
                                                                 2 { 5 - 3x  + 2 }   =    2           อย่าลืม!  เปลี่ยนเครื่องหมาย
                                                                1/2 . 2 { 7 - 3x }   =  2 . 1/2      (นำ  1/2    คูณทั้งสองข้าง)
                                                                                  7 - 3x    =   1
                                                                      7  –  3x  –  7    =   1  –  7     (นำ 7 ลบออกทั้งสองข้าง)
                                                                    -(  1/3 ) . - 3x   =   -6 ( -1/3 )    (นำ -1/3   คูณทั้งสองข้าง)

                       ดังนั้น  x   =    2 

การแก้สมการเมื่อจำนวนในสมการส่วนมากอยู่ในรูปเศษส่วน 

                      จะไม่สะดวกในการทำให้เป็นผลสำเร็จ  อาจทำให้  “ส่วน”  หมดไปโดยการนำ  ค.ร.น.  ของส่วนทั้งหมดคูณตลอดสมการนั้น

โจทย์สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

              โจทย์ประเภทนี้จะมีข้อความที่ไม่ทราบค่าปรากฏอยู่  และข้อความที่เกี่ยวข้องกับข้อความอื่น  ๆ  อีก  หลายข้อความในโจทย์นั้น  ซึ่งอาจมีความสัมพันธ์กับข้อความนั้น  ๆ  โดยตรงหรือโดยอ้อม  การแก้ปัญหา  เกี่ยวกับโจทย์สมการก็คือการหาคำตอบของโจทย์นั่นเอง   

            โดยวิธีการกำหนดตัวแปรแทนข้อความที่ไม่ทราบค่านั้น  (นิยมใช้  x  เป็นตัวแปร)  แล้วเขียน  ข้อความอื่น  ๆในรูปของ  x  นี้  สร้างสมการขึ้นมา

 ตัวอย่างเช่น       ก   มีเงินมากกว่า   ข   อยู่   12   บาท    ก   กับ  ข    มีเงินรวมกัน   88    บาท  ก    มีเงิน เท่าไหร่
                วิธีทำ      ให้   ก    มีเงิน    x   บาท  จะได้   ข   มีเงิน  x  –  12    บาท
                                    ก   และ   ข   มีเงินรวมกัน  88  บาท

          สมการคือ                                x +  ( x - 12 )   =    88      
                                                                                2x  =    88 + 12
                                                                                x    =    50

           นั่นคือ  ก  มีเงิน  50  บาท

ข้อแนะนำในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับโจทย์ปัญหาสมการทั่วๆ ไป     มีดังนี้

                1)     เมื่ออ่านปัญหาโจทย์แล้วจะต้องกำหนดตัวแปรแทนข้อความที่ยังไม่ทราบค่าในโจทย์ซึ่งอาจมี หลาย ข้อความโดยทั่วไป  มักจะกำหนดตัวแปรแทนข้อความที่โจทย์ถาม  แต่ไม่จำเป็นต้องทำเช่นนี้ทุก ครั้ง  ทั้งนี้เนื่องจากบางครั้งการทำเช่นนี้จะทำให้เข้าสมการ   (เขียนความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรกับข้อความอื่นๆ  ที่ปรากฎในโจทย์)      ไม่สะดวกหรืออาจทำได้ยากกว่าการกำหนดตัวแปรแทน ข้อความอื่น  (ที่โจทย์มิได้ถาม)  ซึ่งมีความคล่องในการเขียนสมการสมพันธ์กับข้อความต่าง ๆ  ที่ปรากฏในโจทย์  แต่ต้องระวังเวลา ตอบต้องไม่ตอบค่าของตัวแปรนั้น  จะต้องนำค่าตัวแปรไปแทนข้อความที่โจทย์ถาม

 ตัวอย่างเช่น     สี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปหนึ่งมีเส้นรอบรูปยาว  14  นิ้ว  มีด้านยาวยาวกว่าสองเท่าของด้านกว้าง อยู่   1  นิ้ว  สี่เหลี่ยมนี้มีพื้นที่เท่าใด

วิธีทำ      กำหนดตัวแปร  (x)   แทนข้อความที่โจทย์ถามจะไม่สะดวก  จึงควรกำหนดให้สี่เหลี่ยมมี             ด้านกว้าง  x  นิ้ว  ด้านยาวจะยาว  2x  +  1    นิ้ว  เส้นรอบรูปยาว     14    นิ้ว  

                           เข้าสมการได้                                       2 [ x + ( 2x + 1 )]    =   14  

                                                                                                            3x  +  1   =   7  

                                                                                                                      x     =     2  

  ดังนั้น      ด้านกว้างยาว  เท่ากับ    2  นิ้ว  
                  ด้านยาวยาว    เท่ากับ    2( 2 )  +  1   =   5    นิ้ว

  นั้นคือ  สี่เหลี่ยมผืนผ้ามีพื้นที่เท่ากับ     2 ( 5 )     =    10    ตารางนิ้ว  

ข้อสังเกต  ยังนิยมใช้  x  เป็นตัวแปรแทนข้อความที่ไม่ทราบค่าหลังคำว่า  “ของ” เช่น  ในข้อแนะนำ                ข้อที่  1  มีข้อความว่า  

                     ด้านยาวยาวกว่าสองเท่าของด้านกว้างอยู่          1         นิ้ว   
                     ให้  ด้านกว้างยาว                                                   x        นิ้ว   
                     ดังนั้น  ด้านยาวจะยาว                                     2x + 1    นิ้ว

               การแก้สมการ คือ การหาค่าของตัวแปรในสมการที่ทำให้สมการเป็นจริงโดยอาศัยสมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง ดังนี้

               

 สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

      สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว คือ สมการที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว และเลขขี้กำลังของตัวแปรเป็น 1 สมการ  เชิงเส้นตัวแปรเดียวจะสามารถเขียนให้อยู่ในรูปอย่างง่าย ดังนี้ ax + b = 0 เมื่อ a, b เป็นค่าคงตัว และ a ไม่ เท่ากับ 0  เช่น
                              2x + 3  =  0        
                             2a + 1  =  0       

สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง
                เมื่อ a, b และ c เป็นจำนวนจริง

1)  สมบัติสมมาตร (symmetric property)
            ถ้า a = b แล้ว b = a

2) สมบัติการถ่ายทอด (transitive property)

                ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c 

3) สมบัติการแจกแจงหรือการกระจาย (distributiveproperty)

               a (b+c) = ab + ac

4) สมบัติการบวก (additiveproperty)

               ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c  

หรือ a - c = b - c    

5) สมบัติการคูณ (multiplicative property)

              ถ้า a = b แล้ว a x c = b x c

           หรือ a / c = b / c เมื่อ c ไม่เท่ากับ 0

                                     การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

ที่มา https://sites.google.com/site/sayrungphinyasri/smkar-cheing-sen-tawpaer-deiyw 12/09/2556
      http://www.youtube.com/watch?v=kDd89MWL9xU